ข้ามไปยังเนื้อหา
SabiQuant

การแจกแจงแบบปกติ (Normal Distribution)

การคำนวณราคาออปชันเชิงวิเคราะห์ (Black-Scholes-Merton, Bachelier) และการคำนวณมูลค่าความเสี่ยง (Value-at-Risk - VaR) ต้องใช้ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของการแจกแจงปกติมาตรฐานที่มีความละเอียดถึงระดับ Machine Epsilon

ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Functions)

1. ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (PDF)

ϕ(x)=12πe−12x2\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} x^2}

2. ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (CDF)

Φ(x)=12π∫−∞xe−12u2 du=12[1+erf(x2)]\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2} u^2} \, du = \frac{1}{2} \left[ 1 + \text{erf}\left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right) \right]

SabiQuant ใช้การประมาณค่าแบบตรรกยะของเชบีเชฟ (Hart’s rational Chebyshev approximation) โดยมีความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ ∣ϵ∣<10−16|\epsilon| < 10^{-16}

3. ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมผกผัน / ควอนไทล์ (Φ−1(p)\Phi^{-1}(p))

แปลงค่าความน่าจะเป็นสะสม p∈(0,1)p \in (0, 1) ไปเป็นค่าคะแนนมาตรฐาน zz:

z=Φ−1(p)z = \Phi^{-1}(p)

พัฒนาตามอัลกอริทึมของ Peter John Acklam พร้อมขั้นตอน Refinement ให้ความแม่นยำสูงถึง 1.15×10−91.15 \times 10^{-9} ครอบคลุมทั้งบริเวณแกนกลางและบริเวณหางสุดขั้ว (10−30≤p≤1−10−3010^{-30} \le p \le 1 - 10^{-30})

ตัวอย่างโค้ดในภาษา Rust

use sabiquant::math::distributions::NormalDistribution;


fn main() -> Result<(), Box<dyn std::error::Error>> {
    let standard_normal = NormalDistribution::standard();


    // ประเมินค่า PDF ที่ x = 0
    let pdf_0 = standard_normal.pdf(0.0);
    println!("Standard Normal PDF(0): {:.6}", pdf_0); // 1 / sqrt(2*pi) ≈ 0.398942


    // ประเมินค่า CDF ที่ z = 1.96 (ระดับความเชื่อมั่นสองด้านประมาณ 97.5%)
    let cdf_196 = standard_normal.cdf(1.959964);
    println!("CDF(1.96):              {:.4}%", cdf_196 * 100.0); // 97.50%


    // Inverse CDF: ตัวคูณ 99% VaR ระยะ 1 วัน
    let p_var99 = 0.99;
    let z_var99 = standard_normal.inverse_cdf(p_var99)?;
    println!("99% VaR Critical Value: {:.4}", z_var99); // 2.3263


    // กำหนดค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตามต้องการ (เช่น ผลตอบแทนสินทรัพย์)
    let asset_dist = NormalDistribution::new(0.08, 0.15)?; // ผลตอบแทน 8%, ความผันผวน 15%
    println!("Prob(Return < 0%):      {:.2}%", asset_dist.cdf(0.0) * 100.0);


    Ok(())
}