ตัวแก้สมการหาค่าราก 1 มิติ (1D Root-Finding Solvers)

การหาค่ารากของสมการ (Root Finding) ปรากฏอยู่ทั่วไปในงาน Quantitative Finance ตั้งแต่การ Invert หาผลตอบแทนพันธบัตรและ Implied Volatility ไปจนถึงการหาราคาดุลยภาพในการชำระราคา SabiQuant มีชุดตัวแก้สมการเชิงตัวเลขที่ออกแบบมาโดยไม่มีการจอง Heap Allocation

ระเบียบวิธีที่มีให้ใช้งาน (Implemented Solvers)

1. ระเบียบวิธีของเบรนต์ (`BrentSolver`)

ผสานระหว่าง Inverse Quadratic Interpolation, Secant Method, และ Bisection การันตีการลู่เข้าอย่างสมบูรณ์สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีขอบเขต $[a, b]$ คร่อมรากสมการ $f(a) \cdot f(b) < 0$

2. Safeguarded Newton-Raphson (`SafeguardedNewtonSolver`)

ใช้อนุพันธ์เชิงวิเคราะห์ $f'(x)$ เพื่อการลู่เข้าแบบ Quadratic:

$x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$

หากจุด $x_{k+1}$ กระโดดออกนอกขอบเขตที่ถูกต้อง $[a, b]$ หรือความคลาดเคลื่อนลดลงไม่เร็วพอ ระบบจะสลับไปใช้ขั้นตอนแบ่งครึ่งช่วง (Bisection Step) โดยอัตโนมัติ

3. ระเบียบวิธีแบ่งครึ่งช่วง (`BisectionSolver`)

วิธีมาตรฐานที่มีความเสถียรอย่างไร้เงื่อนไข โดยมีอัตราการลู่เข้าแบบเส้นตรงที่ระดับ $O(\log_2(1/\varepsilon))$

ตัวอย่างโค้ดในภาษา Rust

use sabiquant::math::solvers::{BrentSolver, Solver1D};

fn main() -> Result<(), Box<dyn std::error::Error>> {
    // แก้สมการ f(x) = x^3 - 2x - 5 = 0  (รากที่แท้จริง ~ 2.09455148)
    let f = |x: f64| x.powi(3) - 2.0 * x - 5.0;

    let solver = BrentSolver::new()
        .max_iterations(100)
        .tolerance(1e-12);

    let bracket_low = 1.0;
    let bracket_high = 3.0;

    let root = solver.solve(&f, bracket_low, bracket_high)?;

    println!("Found Root: {:.12}", root);
    println!("Residual:   {:.2e}", f(root));

    assert!((f(root)).abs() < 1e-12);

    Ok(())
}